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二項分布確率計算機

ステップ 1 / 4 P(X = k)
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成功確率pの独立なベルヌーイ試行をn回行うとき、二項分布は成功がちょうどk回起きる確率を教えてくれます。この計算機は、正確確率P(X = k)、累積確率P(X ≤ k)、上側裾確率P(X ≥ k)、そして平均・分散を一度に求めます。対数ガンマ関数による組合せ計算を使うため、n = 10,000でも精度を保ちます。

二項分布の確率を計算する方法

  1. 1

    n（試行回数）を入力

    0以上の整数である必要があります。典型例: コイン投げ10回、A/Bテストの訪問者100人、製造サンプル10,000件。

  2. 2

    p（成功確率）を入力

    0から1の値です。公平なコインならp = 0.5、クリック率12%ならp = 0.12です。

  3. 3

    k（目標とする成功回数）を入力

    0からnまでの整数です。

  4. 4

    各確率を読み取る

    正確確率P(X = k)、左側裾P(X ≤ k)、右側裾P(X ≥ k)、さらに平均 = np、分散 = np(1-p)を表示します。

計算式

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

ここでC(n, k)は二項係数、すなわち「nからk個を選ぶ組合せの数」です。このツールはnが大きいときの桁あふれを避けるため、ガンマ関数による対数空間での計算を使います。

計算例: コイン投げ10回で表がちょうど7回

  • n = 10, p = 0.5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172

つまり10回投げて表がちょうど7回出るのは、約11.7%です。

二項分布が使える条件

ベルヌーイ試行の4つの前提がすべて成り立つ必要があります。

  1. 試行回数が固定（nが事前に決まっている）。
  2. 各試行が独立（各試行が互いに影響しない）。
  3. 結果が2通りのみ（各試行は成功か失敗か）。
  4. 成功確率pが一定（すべての試行でpが変わらない）。

いずれかが崩れる場合（非復元の従属抽出、変動するp、3通り以上の結果など）は、超幾何分布、ポアソン二項分布、多項分布を使ってください。

平均・分散・正規近似

  • 平均: μ = np
  • 分散: σ² = np(1-p)
  • 標準偏差: σ = √(np(1-p))

np ≥ 10かつn(1-p) ≥ 10のとき、二項分布は連続性補正を施した正規分布Normal(μ, σ²)でよく近似できます。計算機はこの条件を表示し、該当する場合はzスコアによる近道へ切り替えられるようにします。

よくある質問

P(X = k)は成功がちょうどk回となる確率です。P(X ≤ k)は成功が最大k回までとなる累積確率です。公平なコインを10回投げる場合、P(X = 5) ≈ 0.246ですが、P(X ≤ 5) ≈ 0.623です。

はい。計算機はP(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)を返します。「kより多い」なら、さらに1つずらしてP(X > k) = P(X ≥ k+1)です。

対数ガンマ計算により、100,000までは安定しています。それを超える場合は正規近似か、ポアソン近似（pが小さくnが大きいとき有効）を使ってください。

その場合は通常の二項分布ではなく、ポアソン二項分布が必要です。この計算機は、すべてのn回の試行で単一の一定なpを仮定しています。

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