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平方根計算機

ステップ 1 / 4 Square root

正の数を入力すると、計算機はその平方根を15桁の小数形式で返します。可能な場合には、正確な簡略化された根号形も返します——例えば、√72は6√2、√200は10√2となります。完全平方数の場合には整数が返され、負の数の場合は虚数単位が取り除かれたi記法が返されます。

ルートの計算方法

  1. 1

    根数を入力してください

    根号の下の数値。正、負または0です。

  2. 2

    小数表現形式

    IEEE 754の平方根命令を用いて計算し、15桁の精度で結果を出力します。

  3. 3

    簡略化された根式

    完全平方因子を因数分解します。 √72 = √(36 × 2) = 6√2

  4. 4

    作業を表示します

    段階的な因数分解が表示されているため、手で再現できます。

知っておくべき完全平方数

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

不完全平方数の簡略化

ポイントは、最大の完全平方因子を見つけ出すことです。

結果にまだ平方因子で割れない部分が残っている場合は、以下の通り繰り返してください： √180 = √(36 × 5) = 6√5 √(4 × 45) = 2√45 ではありません（完全には簡略化されていません）。

一般的な10進数値

鋍数と虚数

負数の平方根は実数域では定義されていません。複素数域では、正のxに対して √(−x) = i√x となります。したがって √(−4) = 2i です。カルキュレータは負の値に対して小数形式ではなく虚数形式を表示します。

平方根対n乗根

この計算機は平方根（2次根）を処理します。立方根、4次根などについては、一般的なn乗根ツールをご利用ください。主要な恒等式：

历史のポインタ

根号符号√は、16世紀に文字r（ラテン語で「根」を意味するradix）から発展してできた。水平の横線（縦線）は17世紀に加えられ、根の下の部分を区切るための要素となった。

よくある質問

すべての正数には2つの平方根が存在する：+xと−xである。通常、√とは主根（非負の値）を指す。二次方程式では、この2つの平方根がともに用いられる。

慣習上、5のみが返されます。√は正の根を返します。x² = 25を解く場合、5および−5の両方がこの方程式を満たすため、x = ±5と表記します。

歴史的に用いられてきた方法には、桁ごとの長除法アルゴリズム、ニュートン法（反復型：x_new = (x + a/x)/2）、および完全平方数が豊富な数の根を求める際に適用される因分解と簡略化法がある。ニュートン法は収束速度が速く、ほとんどの入力値に対して3回の反復で10桁の精度が得られる。

ギリシャ人によって矛盾法によって証明されている。もし√2が最も簡略な形でp/qであるならば、2q² = p²となる。これはpが偶数であることを意味し、したがってp = 2kとなる。このとき2q² = 4k²となり、さらにq² = 2k²となるため、qも偶数となる——これはlowest termsの命題に矛盾する。よって√2は分数ではなく、無理数である。

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