二次回帰計算ツール

二次回帰で計算するもの

二次モデルは ŷ = a*x^2 + b*x + c と表します。ŷ は当てはめたyの値です。係数 a は曲線の曲がり方を、b は一次の項を、c はxが0のときの当てはめ値を表します。特定のxにおける傾きは 2*a*x + b なので、b だけが一定の傾きを表すわけではありません。a が0なら、当てはめたモデルは直線になります。

xの値が0から大きく離れている場合、計算を安定させるため、結果にはxを中心化して尺度を調整した式が表示されることがあります。その場合、元のxの尺度で示すa、b、cは近似値です。予測値と残差の計算には、安定した形の式を使います。

係数は通常の最小二乗法で求めます。観測されたyと当てはめたyの縦方向の差を二乗し、その合計が最小になるようにします。二次曲線でも、未知の3つの係数に対しては線形の問題です。NISTによる多項式モデルの線形最小二乗法の解説も参照してください。

各行で 残差 = 観測されたy - 当てはめたy です。二乗平均平方根誤差は RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n) で、nはデータの行数です。RMSEの単位はyと同じです。決定係数は R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2) です。観測されたyがすべて同じ場合は分母が0になるため、R²は定義できません。ここでのRMSEはnで割っており、残差の自由度で割る残差標準誤差とは異なります。

計算例

(0, 1)、(1, 4)、(2, 9) の3組を入力します。当てはめた曲線は ŷ = x^2 + 2*x + 1 です。x = 0のときc = 1です。残りの2組から a + b + 1 = 4 と 4*a + 2*b + 1 = 9 が得られ、a = 1、b = 2となります。3つの残差はすべて0、RMSEは0、R²は1です。異なる3点で二次曲線を正確に決められても、新しい観測値をうまく予測できるとは限りません。

x = 1.5では、この式の予測値は6.25です。x = 3では16ですが、入力したxの範囲外なので外挿です。二次曲線は測定範囲の外で急に上昇または下降することがあります。

誤差のある当てはめとして、次の5つの観測値を見てみましょう。

これらの残差は、最小二乗法の係数に関する方程式を満たします。残差平方和は0.70なので、RMSE = sqrt(0.70/5)、約0.3742です。yの平均値3を基準にした全変動の平方和は14.70で、R² = 1 - 0.70/14.70、約0.9524となります。

データの準備と結果の読み方

空白でない行ごとに1組を入力します。この日本語ページでは小数点にピリオドを使います。例えば 1.5, 2.25 と入力でき、xとyはカンマ、セミコロン、タブ、スペースのいずれかで区切れます。小数点にカンマを使う言語のページでは、セミコロン、タブ、スペースのいずれかで区切ります（例：1,5; 2,25）。桁区切り記号は使わないでください。最初の行が両列の名前だと明確に分かる場合に限り、列名として受け付けます。それ以外の空白でない行には有効な数値が2つ必要で、不正な行は黙って除外せず、入力エラーになります。

一意の二次曲線を当てはめるには、異なるxの値が少なくとも3つ必要です。同じxで繰り返し測定してもよく、それぞれ独立した観測値として数えます。入力する各xとy、および任意の予測用xの絶対値は10^12以下にしてください。R²やRMSEと併せて曲線と残差を確認してください。R²が高くても因果関係や予測の有用性は保証されず、「良い当てはまり」を判定する普遍的なしきい値もありません。NISTは残差分析をモデル検証の一部として説明しています。

計算はこのブラウザーのタブ内で行います。当てはめに使ったデータは3つのステップを移動する間、セッションストレージに保存され、「最初からやり直す」を選ぶと削除されます。ページのリンクにデータの組は含まれません。任意で指定できる予測値は当てはめた式から得る点推定であり、不確実性の区間は示しません。