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部分分数分解計算ツール

ステップ 1 / 3 部分分数分解計算ツール

x、整数、+、-、*、^、括弧を使用できます。掛け算は3*xのように明示してください。

次へ：分母を入力

対応する有理式を、多項式の商とより単純な分数の和に書き換えます。分子と分母を別々に入力すると、正確な係数と、再合成によって検証した等式を確認できます。

有理式を部分分数に分解する方法

  1. 1

    分子を入力

    x+7やx^2+3*x+1のように、xを使った多項式を入力します。掛け算には*を使ってください。

  2. 2

    分母を入力

    (x-3)*(x+2)のように、1次から4次のゼロでない多項式を入力します。

  3. 3

    等式を確認

    多項式の商、部分分数の各項と正確な係数の等式を確認します。定義域は元の分母によって決まります。

1つの分数式を単純な項に分ける

部分分数分解は、有理式をより単純な分数の和に書き換える方法です。分母に異なる1次因子がある場合、各因子に対応する分数の分子は定数です。重複する因子には、各累乗に対応する項が必要です。既約2次因子に対応する分子は1次式です。OpenStaxの教材では、これらの形と係数比較の方法を説明しています。

例えば、(x+7)/((x-3)*(x+2)) = 2/(x-3) - 1/(x+2)です。右辺を通分すると、(2*(x+2)-(x-3))/((x-3)*(x+2)) = (x+7)/((x-3)*(x+2))となります。この等式が成り立つのは、元の分母がゼロにならないxだけです。xが3または-2のときは除外されます。

対応する多項式の入力方法

整数係数、x、括弧と、演算子+、-、*、^を使用できます。掛け算は3*xや(x-2)*(x+1)のように明示してください。分子と分母は別々に入力し、分数を表すスラッシュは入力しません。展開形と因数分解形のどちらも使えます。例えばx^2-5*x+6と(x-2)*(x-3)は同じ多項式です。

分子は最高6次まで入力できます。分母は1次から4次までです。入力多項式と計算途中の多項式の各係数は、絶対値が1,000,000以下である必要があります。分母の1次因子には、整数係数から得られる任意の有理根を持つものを使えます。重根も扱えます。OpenStaxの有理根定理の解説にあるように、有理根の候補は分子が定数項の約数、分母が最高次の係数の約数となる分数です。残る判別式が負の2次因子は最大1つまで対応します。この2次因子には実数根がありません。無理数の実数根や複数の2次因子を持つ分母には対応していません。入力係数は整数に限りますが、出力の係数は正確な分数になることがあります。

入力した分数式 分解結果
3*x/((x+2)*(x-1)) 2/(x+2) + 1/(x-1)
(-x^2+2*x+4)/(x*(x-2)^2) 1/x - 2/(x-2) + 2/(x-2)^2
(x^2+3*x+1)/(x^2-4) 1 + (11/4)/(x-2) + (1/4)/(x+2)
1/((2*x-1)*(x+2)) (2/5)/(2*x-1) - (1/5)/(x+2)

仮分数の場合は、最初に分子を分母で割ってから余りを部分分数に分解します。表示される係数の等式は部分分数を再合成して余りに戻し、正確な有理数計算によって元の分子と一致するかを検証します。OpenStaxの微積分教材にも、最初に割り算をする方法が説明されています。代数的な等式が正しくても、元の分母で除外される値は復活しません。因子が約分で消えた場合も同じです。

よくある質問

はい。分子と分母を別々に入力してください。多項式の割り算を行い、余りがあれば部分分数に分解します。商は部分分数とともに表示されます。

はい。有理根を持つ1次因子なら重複していても扱えます。例えば(2x-1)^2には、A/(2x-1)とB/(2*x-1)^2の両方の項を用意します。係数がゼロの項は結果から省略されます。

分母は1次から4次で、有理根を持つ1次因子に分解できる必要があります。残る判別式が負の2次因子は1つまで含められます。無理数の実数根や、2つの既約2次因子を持つ分母は対応範囲外です。

元の分母がゼロでない値だけです。表示される等式は多項式の計算が正しいことを検証しますが、約分で消えた因子があっても、元の式で除外される点は変わりません。

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