偏微分計算機

偏微分とは何を意味するか

偏微分は、一つの変数だけが動き他の変数を固定したままにしたときに、多変数関数がどう変化するかを測ります。関数 f(x, y, z) について、導関数 ∂f/∂x は y と z を定数として扱います。これがこの計算機の中核となる規則です。選んだ変数だけを微分し、他のすべての変数因子はそのまま持ち越し、選んだ変数を含まない項はすべて落とします。

多項式の項については、べき乗の法則がそのまま適用されます:

∂/∂x (a * x^m * y^n * z^p) = a * m * x^(m-1) * y^n * z^p

同じパターンが y や z でも成り立ちます。指数の乗数を与えるのは選んだ変数だけです。

計算例

f(x, y, z) = 3x^2y + 4xy^3 - 5z + 7 について:

∂f/∂x = 6xy + 4y^3 を (x, y, z) = (2, 3, 1) で評価すると、値は 6 * 2 * 3 + 4 * 3^3 = 144 です。この導関数には z が現れないため、z を変えてもこの特定の値は変わらないことに注目してください。

対応している構文

この計算機は意図的に決定論的です。x、y、z を用いた多項式形式の項に対応します。3x^2y のような暗黙の積、x*y のような明示的な積、2.5z のような小数係数、定数、そしてプラス・マイナス記号です。三角関数、対数、括弧、商、任意のスクリプトは処理しません。そうしたより広い記号計算のケースについては、本計算機を完全な数式処理システムではなく、手早い多項式チェッカーとして使ってください。

よくある落とし穴

• 定数変数の規則を忘れる。 ∂/∂x では、項 4xy^3 は 12xy^2 ではなく 4y^3 になります。
• 持ち越した因子を落とす。 3x^2y は 6xy になります。y が残るのは、それが定数の乗数だからです。
• 偏微分を全微分と混同する。 偏微分は一度に一つの入力だけを変化させます。全微分は、変数どうしがどう依存し合うかも考慮します。
• 対応していない関数を期待する。 sin(xy) や (x + y)^2 のような式は、本計算機で処理する前に展開するか、記号代数ツールが必要です。