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超幾何分布計算機

ステップ 1 / 3 超幾何確率

母集団を設定する

全体の個数と、成功とみなすものの個数を数えます。抽出は非復元抽出です。桁区切りを入れずに整数で入力してください。

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有限の集団から取り出したものを戻さない場合、取り出すたびに残りの構成が変わります。この計算機は、成功数が指定した数とちょうど一致する確率、その数以下または以上になる確率を求めます。母集団の大きさ、母集団内の成功数、標本の大きさ、対象の成功数を入力してください。起こり得る範囲、成功数の期待値と分散、すべての実現可能な成功数の確率をまとめたCSVも表示できます。

超幾何分布計算機の使い方

  1. 1

    母集団を数える

    全体の個数 N と、成功とみなすものの個数 K を入力します。N は1～1,000,000,000、K は0～Nです。

  2. 2

    標本を決める

    戻さずに取り出す個数 n を、0から N と1,000の小さい方までの範囲で入力します。

  3. 3

    対象と事象を選ぶ

    0～n の k を入力し、成功数がちょうど k 個、k 個以下、k 個以上のいずれかを選びます。

  4. 4

    結果を見る・書き出す

    選んだ事象の確率と、対象付近の各成功数の確率を最大15件表示します。すべての実現可能な結果と確率の常用対数はCSVでダウンロードできます。

計算の意味

母集団の大きさを N、そのうち成功とみなすものの個数を K、取り出す個数を n、標本内の成功数を X とします。抽出は非復元抽出です。一度取り出したものは再び取り出しません。

成功数がちょうど k 個となる確率は次のとおりです。

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

ここで C(a, b) は a 個から b 個を選ぶ組み合わせの数です。実現可能な成功数は max(0, n - (N - K)) から min(n, K) までです。k が0から標本の大きさまでに入っていても、この範囲外ならちょうど k 個となる確率は0です。k 個以下は k までの各確率を、k 個以上は k から上の各確率を合計します。したがって、実現可能な範囲の外では累積確率が0または1になる場合があります。

計算例: 20個から5個を取り出す

箱に20個の品物があり、そのうち7個に印が付いているとします。戻さずに5個取り出し、印付きがちょうど2個となる確率を求めます。N = 20、K = 7、n = 5、k = 2 を入力し、ちょうどk個を選びます。

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15,504 = 6,006 / 15,504 ≈ 0.387384.

約**38.74%**です。k個以下に変更すると P(X ≤ 2) ≈ 0.793215、k個以上では P(X ≥ 2) ≈ 0.594169 となります。どちらの累積事象にも、ちょうど2個という結果が含まれます。

取り出した印付きの個数 ちょうどその個数となる確率
0 0.083011
1 0.322820
2 0.387384
3 0.176084
4 0.029347
5 0.001354

期待値・分散と二項分布との違い

成功数の期待値は n × K / N です。N > 1 のとき、分散は n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1) です。N = 1 のときは0です。最後の因子は、抽出につれて残りの母集団の構成が変わることを表します。

Rの超幾何分布に関する文書には、対応する確率関数と累積分布関数が説明されています。

各試行が独立し、成功確率が毎回同じ場合、たとえば次の抽出前に品物を戻す場合は二項分布を使います。有限の母集団から決まった個数を戻さずに取り出す場合は超幾何分布を使います。この計算機は整数の入力を受け付け、ブラウザー内で分布を計算します。ガイド付きの手順では入力値をこのタブに一時保存します。別のタブを使った場合や保存期間が過ぎた場合は、入力し直す必要があります。

0ではない極めて小さい確率は、通常の小数では値を表示しきれず、10^-300未満 と表示される場合があります。CSVには実現可能な結果ごとに確率の常用対数も含まれるため、桁の大きさを確認できます。

よくある質問

数えたい対象として選んだ結果です。箱の中の印付きの品物や、製造ロット内の不良品などが例です。望ましい結果という意味ではありません。

起こり得ない対象数があるためです。5個取り出す場合でも、母集団に印付きが1個しかなければ、印付きがちょうど2個になることはありません。結果には実現可能な範囲が表示されるので確認できます。

はい。k個以上は X が k 以上という意味です。k個以下にも、ちょうどk個が含まれます。その1つの結果だけを求める場合は「ちょうどk個」を選びます。

実現可能な標本内の成功数すべてについて、各確率と確率の常用対数が入っています。ページの表には対象付近の結果を最大15件表示します。

母集団は最大1,000,000,000個です。標本は最大1,000個で、母集団より大きくできません。4つの値はすべて整数とし、桁区切りを入れずに入力してください。

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