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固有値計算機

ステップ 1 / 4 行列 A
1行目

この固有値計算機は、実数の 2×2 行列を 4 つの成分から解きます。トレース、行列式、特性多項式、判別式、固有値を計算し、2 つの固有値が相異なる実数のときは実固有ベクトルも表示します。線形代数の課題、工学モデルの素早い確認、小さな行列を手で対角化する前の検算に向いています。

固有値の求め方

  1. 1

    行列の成分を入力する

    行列 A = [[a, b], [c, d]] の a、b、c、d を入力します。小数や負の値も使えます。

  2. 2

    特性方程式を立てる

    トレース T = a + d と行列式 D = ad - bc から λ² - Tλ + D = 0 を組み立てます。

  3. 3

    解を分類する

    判別式 T² - 4D によって、固有値が相異なる 2 つの実数か、重解か、共役複素数の組かが決まります。

2×2 行列の公式

A = [[a, b], [c, d]] のとき、固有値は次の方程式の解です。

det(A - λI) = 0

この行列式を展開すると、次の式になります。

λ² - Tλ + D = 0

ここで:

  • T = a + d はトレース（跡）です。
  • D = ad - bc は行列式です。
  • Δ = T² - 4D は判別式です。

したがって:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

計算例

A = [[2, 1], [1, 2]] の場合、トレースは T = 2 + 2 = 4、行列式は D = 2·2 - 1·1 = 3 です。特性多項式は次のようになります。

λ² - 4λ + 3 = 0

判別式は Δ = 4² - 4·3 = 4 なので、固有値は次のとおりです。

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

固有値 3 に対する固有ベクトルの 1 つは [1, 1]、固有値 1 に対する固有ベクトルの 1 つは [1, -1] です。これらのベクトルの 0 でないスカラー倍も、すべて正しい固有ベクトルです。

判別式が示すもの

判別式 Δ 固有値の場合分け 予想される結果
Δ > 0 相異なる 2 つの実固有値 相異なる 2 つの実数解。2×2 行列が実数上で対角化可能なら、独立な固有ベクトルが 2 つ得られます。
Δ = 0 重解の固有値 重解が 1 つ。固有空間の次元は 1 か 2 のどちらもあり得るため、対角化が必要なら固有ベクトルを別途確認してください。
Δ < 0 共役複素数の組 実固有値はありません。2 つの解は実部が等しく、虚部の符号が逆になります。

よくある間違い

  • A - λI の作り方を誤る。 変わるのは対角成分だけです: a - λ と d - λ。
  • 行列式の符号を忘れる。 2×2 行列では D = ad - bc であり、ad + bc ではありません。
  • 重解の固有値を自動的に対角化可能とみなす。 重解であっても、独立な固有ベクトルが十分な数だけ必要です。
  • 早い段階で丸めてしまう。 特に小数を扱うときは、トレース、行列式、判別式をできるだけ正確な値のまま保ちましょう。

よくある質問

実数の 2×2 行列に対応しています。そのおかげで結果が追いやすくなります。すべての値がトレース、行列式、2 次の特性多項式から導かれるためです。

あります。判別式 T² - 4D が負なら、固有値は共役複素数の組になります。[[0, -1], [1, 0]] のような回転行列が代表的な例です。

相異なる実固有値のときは各解に対して簡単な実ベクトルを示せるため、固有ベクトルを表示します。重解や複素数の場合は追加の説明が必要になるので、その場合は固有値とその分類に絞って表示します。

ファイルのアップロードは一切ありません。入力された成分はページのコンポーネントで処理され、トレース、行列式、多項式、固有値が求められます。

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