相関係数計算ツール

数式

r = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / √(Σ(xᵢ - x̄)² × Σ(yᵢ - ȳ)²)

同様に、r = cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y)とは、標準偏差の積で正規化された共分散であり、その結果を[-1, +1]の範囲内に制限する。

rの解釈

**r²（決定係数）**とは、Xの線形モデルによって説明されるYの分散の割合を示す。r = 0.7の場合、r² = 0.49であり、つまり分散の約半分が線形的に説明され、残りの半分は非線形的に説明されている。

ピアソンが不適切なツールである場合

ピアソンは、ほぼ正規分布に従うデータにおいて線形関係が成立し、大きな外れ値がないことを前提としています。しかし、以下の点で著しく不適切です：

• 曲線的な関係：[-5, 5]の範囲においてy = x²は完全に予測可能であるにもかかわらず、r = 0となる。
• 外れ値：標準偏差5個の範囲外にある単一の点では、rの値が2倍または半分になることがある。
• 順位データ：その代わりにスピアマンのρ（順位間相関係数）を使用してください。
• 二値型またはカテゴリ型：種類に応じて、ポイント・バイシリーズ法、phi値、またはクレイマーのV値を使用する。

相関が因果関係を意味するわけではない――古典的な見解

2つの変数が強く相関する理由は以下の通りです：

1. XがYを引き起こします。
2. YがXを引き起こします。
3. 第三の変数Zは、両方の結果を引き起こす（交絡因子）。
4. 純粋な偶然（小規模サンプルの場合）。
5. データ収集方法における選択バイアス。

夏の数ヶ月間において、アイスクリームの販売量と溺水死亡件数の間には+0.8の相関が見られる。アイスクリームは溺水の原因ではない、高温天気が両方の原因となる。

サンプルサイズと統計的有意性

小規模のサンプルでは、r値が誤解を招く可能性があります。n = 5の場合、r = 0.5は統計的にゼロと区別できません（p ≈ 0.4）。一方、n = 100の場合、r = 0.2は明確にゼロではなく、有意差が認められます（p < 0.05）。常にr値とともにサンプルサイズも記載してください。rのp値は、真の相関係数がゼロであるという零仮説を検定するものです。