複素数計算機

4つの演算

z₁ = a + bi と z₂ = c + di について、i を i² = −1 となる記号として扱えば、計算は次のように直接導かれます。

• 和: (a + c) + (b + d)i
• 差: (a − c) + (b − d)i
• 積: (ac − bd) + (ad + bc)i
• 商: 分子と分母を z₂ の共役複素数で掛けます: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

除算が定義されるのは分母 c² + d² が0でないとき、すなわち z₂ が 0 + 0i でないときに限られます。

z₁ の絶対値と偏角

絶対値は複素平面上で原点から点 (a, b) までの距離です: |z₁| = √(a² + b²)。偏角は z₁ が正の実軸となす角度で、2引数の逆正接 arg(z₁) = atan2(b, a) で計算し、ここでは度単位で −180° から 180° の範囲で表示します。

計算例

z₁ = 3 + 2i、z₂ = 1 + 4i とします。

避けたい間違い

• i² = −1 を忘れる。 掛け算では bd·i² の項が符号を変えて実部に加わります。だからこそ積の実部は ac + bd ではなく ac − bd になります。
• 共役を使わずに割る。 (a + bi)/(c + di) を項ごとに分けることはできません。まず (c − di)/(c − di) を掛けてください。
• 度とラジアンを混同する。 ここでの偏角は度単位ですが、多くのプログラミング言語は atan2 からラジアンを返します。変換するには 180/π を掛けます。
• 象限の誤り。 単純な arctan(b/a) ではなく atan2 を使ってください。そうしないと実部が負の点の角度が誤った象限に入ってしまいます。