組み合わせ計算機

式

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

同等: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

実際に動作した例

• C(10, 3) = 120: 10 種類のトッピングから 3 つを選択する方法。
• C(52, 5) = 2,598,960: 標準的なトランプ 1 組から作る 5 枚のポーカーの手札。
• C(49, 6) = 13,983,816: 英国ナショナルロタリーのメイン抽選の組み合わせ。
• C(70, 5) × 25 = 302,575,350: メガミリオンズのジャックポットの組み合わせ（70 個から 5 個のメインボール + 25 個から 1 個のメガボール）。
• C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: 100 個の要素からなる集合の半分の部分集合。

組み合わせと順列

• 組み合わせ C(n, k): 順序は関係ありません。 {A, B, C} を選択することは、{C, B, A} と同じです。
• 順列 P(n, k): 順序が重要です。 {A, B, C} は {C, B, A} とは異なります。
• 関係: P(n, k) = C(n, k) × k!

宝くじは組み合わせで決まります (ボールの順序は関係ありません)。レースのフィニッシュ順位は順列です (1 位、2 位、3 位)。

パスカルの三角形

C(n, k) を並べるとパスカルの三角形が形成されます。

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

各エントリ C(n, k) は、その上の 2 つのエントリの合計、C(n-1, k-1) + C(n-1, k) です。対称: C(n, k) = C(n, n-k)。

プロパティ

• C(n, 0) = C(n, n) = 1: 何も選択しない、またはすべてを選択する唯一の方法。
• C(n, 1) = n: 1 つの項目を選択する n 通りの方法。
• 行 n の合計: k=0 から n = 2ⁿ までの Σ C(n, k)。 n 項目セットのサブセットの合計。
• ホッケースティック: i=k から n = C(n+1, k+1) までの Σ C(i, k)。

現実世界のアプリケーション

• 宝くじの確率: 抽選された正確な数字の場合は 1 / C(n, k)。
• サンプリング設計: 母集団からテストグループを選択します。
• 遺伝学: 可能性のある子孫の遺伝子型を数えます。
• スケジュール: ラウンドロビン トーナメントには C(チーム、2) 試合が必要です。
• 二項分布: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)。
• 委員会の選択: 20 人のメンバーから 5 人の委員会を形成する方法 = C(20, 5) = 15,504。

大きな数でも正確なまま

結果は急速に大きくなります。C(100, 50) はすでに 30 桁です。計算機は n を 170 までに制限しており、宝くじや委員会、サンプリングといった実用のすべてをカバーしつつ、浮動小数点数ではなく任意精度の整数演算を使うため、すべての答えが正確です。