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二項展開計算機

ステップ 1 / 3 二項展開計算機

整数、小数、3/4 のような分数を入力できます。負の数も使えます。

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x の係数、第 2 項、0 から 20 までの整数のべき乗 n を入力すると、二項定理で (ax + b)^n を展開します。第 2 項に独自の変数がある場合は (ax + by)^n として展開します。展開式の全体、各項 C(n, k) a^(n-k) b^k を並べた表、二項係数の行、一般項がまとめて表示されます。係数には整数・小数・分数を使え、結果はすべて正確な値なので、べき乗が大きくても丸め誤差は出ません。

二項式の展開のしかた

  1. 1

    a、b、n を入力する

    x の係数、第 2 項、べき乗を入力します。整数のほか、0.5 のような小数や 3/4 のような分数も使え、負の値も入力できます。

  2. 2

    第 2 項の種類を選ぶ

    (ax + b)^n にするなら単なる数を、(ax + by)^n にするなら第 2 の変数を選びます。

  3. 3

    展開結果を読む

    最初に展開式が表示され、続いて一般項、二項係数、各項の係数を並べた表が表示されます。

二項定理で各項ができるしくみ

二項定理によると、整数 n について次の式が成り立ちます。

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

各項には 0 から n までの番号 k が付き、一般項は C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k) です。第 2 の変数がある場合は、末尾に y^k が加わります。二項係数は C(n, k) = n! / (k! (n-k)!) で、n 個から k 個を選ぶ組み合わせの数です。計算機は C(n, k)、a^(n-k)、b^k を正確な分数のまま掛け合わせ、最後に約分します。

パスカルの三角形：a = b = 1 のときの係数

n 二項係数 C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

各数は上の 2 つの数の和で、各行の合計は 2^n になります。

計算例

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81。検算：x = 1 とおくと 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4 です。
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32。b が負だと符号が交互になります。
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1。分数は丸めた小数にならず、正確なまま残ります。

知っておきたいこと

  • 係数の総和は (a + b)^n に等しくなります。手計算で展開した結果の検算に便利です。
  • a または b が 0 のときは消える項があります。展開式ではそれらを省き、表には係数 0 として残します。
  • べき乗が 0 の場合、結果は常に 1 です。
  • 小数はまず正確な分数に変換されます。0.25 は 1/4 として扱われます。0,5 のような小数点のコンマも使えます。
  • 対応するのは 0 から 20 までの整数のべき乗だけです。分数や負のべき乗には無限級数としての二項級数が必要で、このツールでは計算しません。

よくある質問

2 つの項の和を整数乗したものを展開する公式です。(a + b)^n は、k を 0 から n まで動かしたときの C(n, k) a^(n-k) b^k の総和になります。二項係数 C(n, k) は、パスカルの三角形の第 n 行に並ぶ数です。

べき乗 n のとき、k = 0 から n までの n + 1 個の項になります。表にはそのすべてが載ります。a または b が 0 の場合は 0 になる項が省かれるため、展開式の項数は少なくなります。

はい。a と b の欄に 3/4、0.75、-2 などを入力できます。小数は正確な分数に変換されるので、0.1 は 1/10 として扱われ、係数が丸められることはありません。

20 乗の展開式はすでに 21 項あり、係数も数十桁になります。これが 1 ページで見やすく表示できるおおよその限界です。この範囲内なら、計算機は正確な整数と分数で計算します。

いいえ。入力した値は展開を計算するためにサーバーへ送られます。また、ステップを移動するときにページのリンクに付加されるため、結果をブックマークしたり共有したりできます。アカウントやプロフィールに保存されることはありません。

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