三重積分計算機
三重積分は、三次元領域における体積、質量およびフラックスを計算する。箱のようなデカルト座標系の領域では境界が明確である一方で、2つの放物面間に挟まれた立体については積分の順序を慎重に決定する必要がある。この計算ツールは指定した境界内で∫f(x,y,z)dVを評価し、デカルト座標、円柱座標および球座標をサポートしており、各積分過程の詳細を一覧で表示する。
三重積分の計算方法
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1
f(x, y, z) を入力してください
被積分関数。標準的な記法は：x*y*z、x²+y²、sin(x)・cos(y)です。
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2
座標系を選択してください
座標系に応じて、座標系はデカルト座標系（dx、dy、dz）、円柱座標系（r、dr、dθ、dz）または球座標系（ρ²sin(φ)、dρ、dφ、dθ）となる。
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3
境界を設定します
3つの変数それぞれについて、定数であるか、または他の変数の関数であるかを判定する。
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4
統合順序を選択してください
zdzydx、dxdydzなど。選択肢を用いることで計算が大幅に簡略化できます。
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5
ステップバイステップの評価を参照してください
まず内積を計算し、次に中間部分を計算し、最後に外積を計算する。各段階で逆微分関数を用いる。
3つの座標系とは何ですか
| システム | ボリューム要素 | 最適な用途 |
|---|---|---|
| 庭根座標系 | dx dy dz | 簊箱、棱柱、一般的な非対称領域 |
| 筹状体 | r dr dθ dz | 圆柱、円錐、回転曲面 |
| 球状 | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | 球体の球面部分、重力問題 |
誤った系を使用すると、単純な積分も悪夢のような問題に変質してしまう。半径が1の球体をデカルト座標系で積分する場合、境界関数は複雑な√(1 − x² − y²)となるが、球面座標系では∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθのように明確で分離可能になる。
常見の問題
- 質量: ∭ρ(x,y,z) dV、ここでρは密度である。
- 質量中心：∑x ρ dV / 総質量であり、yおよびzについても同様である。
- 慣性モーメント：所定の軸周りにおける ∭r²ρ dV。
- 体積：∫₁ dV — 积分被積分関数は1であるため、この領域の体積を計算するだけでよい。
統合の順序を変更しています
内側の境界を外側の変数の関数として明確に表すことができない領域では、順序を逆転することが有効であることが多い。その領域を図示し、目的とする内・外平面に投影した後、境界を再導出する。
例：球体の体積
球座標系において、単位球 {x² + y² + z² ≤ 1} は次のように定義される：
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
有名なV = (4/3)πr³という式は、わずか3つの簡潔なステップで消え去る。一方、デカルト座標系では同じ積分が複数ページにわたって記述される。
数値バックアップ
一部の積分には閉じた形の被積分関数が存在しません。記号による積分が失敗した場合、計算機は数値積分法に切り替わり、誤差推定付きの近似値を返します。
よくある質問
ほとんどの場合、境界値が誤っている。三重積分の境界は内部の変数に依存する場合があり、順序を間違えると数学的に異なる積分が得られる。まず領域を図示し、その後で慎重に境界値を導出せよ。
計算機は数値法（適応積分法）に切り替えます。記号表現ではなく、誤差範囲付きの数値結果が表示されます。
ある点を中心に領域が完全な3次元対称性を持つ場合（球体、点からなる円錐体）は球形とされる。軸対称性がある場合（円筒体、軸周りの回転面）は円柱形とされ、いずれの対称性も持たない場合は笛卡尔形とされる。
いいえ。すべての計算はブラウザ内で実行されます。