三重積分計算機

ステップ 1 / 4 三重積分

被積分関数 f(x, y, z)

三重積分は、三次元領域に分布する量を測るためのものです。体積、密度関数から求める質量、または ∭f(x,y,z) dV で表される累積量を扱います。この計算機は、x、y、z の数値的な直方体範囲に対してブラウザ内で中点則による近似を行うため、簡単な確認、授業用の例、箱型の領域に向いています。

三重積分を近似する手順

入力	使われ方	実用上の注意
`f(x,y,z)`	各中点でサンプルされる値	滑らかな関数は、鋭いピークや不連続を含む関数より安定して収束しやすい
`x min/max`、`y min/max`、`z min/max`	数値的な直方体範囲	範囲は負でもよい。最小値と最大値を逆にすると、その軸の符号が反転する
各軸の分割数	各次元を何分割するか	計算量は n³ で増えるため、60 分割では 216,000 回の関数評価になる

これは数値計算用のツールであり、記号積分器ではありません。原始関数を求めたり、球座標や円柱座標の新しい積分範囲を導いたりはしません。領域が球、円錐、その他の曲面を持つ立体の場合は、まずこの直方体の中点則でサンプルできる形の範囲と被積分関数に直すか、三重積分に対応した記号計算の手順を使ってください。

座標系	代表的な体積要素	ここで覚えておくこと
直交座標	dx dy dz	この計算機の x/y/z 範囲にそのまま対応する
円柱座標	r dr dθ dz	軸対称の領域で便利だが、係数 `r` は変換後の被積分関数に含める必要がある
球座標	ρ² sin(φ) dρ dφ dθ	球や球殻で便利だが、変換後の範囲とヤコビアン係数が必要になる

画面で入力できるのは x、y、z の数値範囲だけです。座標変換の考え方は問題設定には有用ですが、最後に入力する式は、この計算機がサンプルする変数と範囲に合っている必要があります。

単位立方体で f(x,y,z) = x*y*z とすると:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0.125

範囲が直方体で、期待される答えも単純なので、動作確認に向いた入力です。数値結果が 0.125 から大きく外れる場合は、分割数を増やすか、式の書き方を確認してください。

中点則は分割数を増やすと通常は改善しますが、あくまで近似です。直方体領域上の滑らかな関数が最も扱いやすい対象です。不連続、特異点、非常に細いピーク、または実際には箱型でない領域では、問題を慎重に作り直さないと誤解を招く値になることがあります。

この計算機は数値的な中点則を使っています。分割数を増やすとサンプル点が増えるため、滑らかな被積分関数では通常、推定値が安定した値に近づきます。

いいえ。このページは数値範囲を持つ定積分を近似します。原始関数や代数的な途中式が必要な場合は、記号積分計算機を使ってください。

直接はできません。入力は x、y、z の直方体範囲です。円柱座標や球座標で立てた問題では、正しいヤコビアン係数と変換後の範囲を、それらの変数を扱える方法で使ってください。

いいえ。すべての計算はブラウザ内で実行されます。