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線形近似計算ツール

ステップ 1 / 3 線形近似

変数は x、累乗は ^ で書きます。関数の引数はかっこで囲んでください。積は 2x、3(x + 1)、2*x のように書けます。 使える関数と定数： sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

入力例

次へ：点 a

この線形近似計算ツールは、関数 f の点 a における一次近似式（線形化）、つまり接線の式 L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) を求め、a に近い x での f(x) の近似値を計算します。関数と点 a を入力し、近似値も知りたいときは x を入力してください。数値を代入した L(x) と傾きと切片の形に展開した式、f(a) と f’(a) の値、線形近似による近似値と実際の値、絶対誤差とパーセント誤差が、微積分の授業で書くような途中式と一緒に表示されます。

線形近似の求め方

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    関数 f(x) を入力します

    変数は x を使います。たとえば sqrt(x)、x^3 - 2x、ln(x)、sin(x)、e^x、1/x のように入力します。累乗は ^ で書き、関数の引数はかっこで囲みます。

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    点 a を入力します

    sqrt(x) なら 4、sin(x) なら pi/6 のように、f の値を求めやすい点を選びます。先に読み取った関数が表示されるので、e^(2x) のつもりで e^2x と書いたような入力ミスに、結果の前に気づけます。

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    近似値を求める x を入力します（任意）

    4.1 のように a に近い x を選びます。一次近似式だけが必要なら空欄のままでかまいません。

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    L(x)、近似値、誤差を確認します

    結果には、数値を代入した形と傾きと切片の形の L(x)、f(a)、f'(a)、近似値 L(x)、実際の f(x)、2種類の誤差、そしてすべての途中式が表示されます。

一次近似式の公式と、使える範囲

関数 f の a における一次近似式（線形化）とは、点 (a, f(a)) を通り、そこでの曲線と同じ傾きを持つ直線のことです。

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

a の近くでは曲線と接線がほとんど重なるため、L(x) は f(x) の手軽な近似値になります。これが接線による近似で、線形近似、一次近似、1次のテイラー多項式とも呼ばれます。

計算例：sqrt(4.1) の近似値を求める

  1. f(x) = sqrt(x) と a = 4 を選びます。平方根がすぐにわかる、いちばん近い点です。
  2. 関数の値を求めます：f(4) = 2
  3. 微分します：f'(x) = 1/(2sqrt(x)) なので、f'(4) = 1/4 = 0.25
  4. 直線の式を作ります：L(x) = 2 + 0.25(x - 4)。傾きと切片の形では L(x) = 0.25x + 1 です。
  5. 近似値を求めます：L(4.1) = 2 + 0.25(0.1) = 2.025
  6. 比べます：実際の値は sqrt(4.1) = 2.024846 なので、絶対誤差は 0.000154、パーセント誤差は約 0.0076% です。

よく使われる線形近似

関数 点 a 一次近似式 L(x) 近似値 実際の値 絶対誤差
sqrt(x) 4 2 + 0.25(x - 4) L(4.1) = 2.025 2.024846 0.000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8.1) = 2.008333 2.008299 0.000034
ln(x) 1 x - 1 L(1.1) = 0.1 0.095310 0.004690
sin(x) 0 x L(0.1) = 0.1 0.099833 0.000167
e^x 0 1 + x L(0.1) = 1.1 1.105171 0.005171
1/x 2 0.5 - 0.25(x - 2) L(2.1) = 0.475 0.476190 0.001190

誤差はどのくらいになるか

線形近似の誤差は、おおよそ |f''(a)| / 2 × (x - a)^2 です。ここから2つのことがわかります。

  • 誤差は距離の2乗で効きます。 sqrt(x) の a = 4 での近似では、誤差は x = 4.01 で 0.0000016、x = 4.1 で 0.000154、x = 4.5 で 0.0037、x = 5 で 0.0139 です。10倍離れると、誤差はおよそ100倍になります。
  • グラフの曲がり方で、ずれる向きが決まります。 グラフが上に凸のところ（sqrt(x)、ln(x)）では接線が曲線の上にあり、近似値は大きめになります。下に凸のところ（e^x、x が正のときの 1/x）では近似値は小さめになります。計算ツールは、どちらの場合かを結果と一緒に表示します。

関数の入力方法

入力したいもの 入力例 メモ
累乗 x^3、x^(1/2)、e^(2x) 指数として読まれるのは直後の1つだけです。e^2x は (e^2)x の意味になるので、e^(2x) はかっこを付けて書きます。
積 2x、3(x + 1)、2sin(x)、x*ln(x) 因数を並べて書くと掛け算になります。
先頭のマイナス -x^2 -(x^2) と読まれます。-x の2乗は (-x)^2 と入力します。
根号 sqrt(x)、cbrt(x) cbrt は実数の立方根で、x が負でも使えます。x^(1/3) は x が負のとき値がないので、そこでは cbrt(x) を使ってください。x^(2/3) の代わりには cbrt(x)^2 を使います。
指数表記 1e-3、2E5、1.5e+3 数字のすぐ後ろに e と指数が続くと、10の累乗として読まれます。1e-3 は 0.001 です。定数 e の2倍にしたいときは 2*e または 2e^x と書きます。
対数 ln(x)、log(x) ln は自然対数、log は底が10の常用対数です。
三角関数 sin(x)、cos(x)、tan(x)、asin(x)、acos(x)、atan(x) ラジアンで計算します。30度は pi/6 と入力します。
その他 exp(x)、abs(x)、pi、e sin^2(x) は (sin(x))^2 と読まれます。

小数点にはピリオドを使います（4.1、0.25）。カンマは小数点としても桁区切りとしても使えないので、千は 1000 と入力してください。全角で入力した数字や記号（４．１ など）も、半角と同じように読み取ります。

線形近似ができない点

  • 定義域の外。 a = 0 での ln(x)、a = -1 での sqrt(x)、a = 0 での 1/x は値を持たないため、接線が接する点がありません。
  • 傾きがない。 abs(x) は 0 でグラフが折れ曲がり、sqrt(x) と cbrt(x) は 0 で接線が垂直になります。関数の値はあっても有限の微分係数がないので、一次近似式は存在しません。計算ツールはその旨を知らせ、値を求めようとした導関数を表示します。

よくある質問

同じ考え方を指す呼び名です。線形化（一次近似式）は関数 L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) そのもので、a における接線の方程式です。線形近似や一次近似は、その使い方を指します。つまり、a に近い x について L(x) を f(x) の近似値として使うことです。この計算ツールは、直線の式と近似値の両方を表示します。

手計算と同じ公式を使って、式のまま微分しています。累乗、積、商、合成関数の微分公式と、sqrt、exp、ln、log、三角関数、逆三角関数、abs の導関数です。その導関数に a を代入するので、f’(a) は数値微分による近似ではなく、通常の浮動小数点の丸めの範囲で正確な値です。求めた導関数は途中式に表示されます。軽く整理してありますが完全には簡単にしていないため、自分の答えと見た目が違っていても、同じ式であることがあります。

この計算ツールでは、log(x) は底が10の常用対数、ln(x) は自然対数です。多くの関数電卓と同じ決まりです。大学の微積分では、底を書かない log x で自然対数を表すことも多いので、問題の log が自然対数なら ln(x) と入力してください。関数に log が含まれているときは、結果の前に計算ツールが注意を表示します。

常にラジアンです。sin(x) の導関数が cos(x) になるといった微分の公式は、ラジアンでしか成り立ちません。30度で計算するには a = pi/6、45度なら pi/4 と入力します。点 a にも x にも、pi/6、e、sqrt(2) のような定数を入力できます。

決まった距離はなく、a の近くで曲線がどれだけ強く曲がっているかによります。誤差は a からの距離の2乗に比例して大きくなるので、距離を半分にすると誤差はおよそ4分の1になります。x を入力して、絶対誤差とパーセント誤差を確認してください。誤差が大きすぎるときは、x にもっと近い点 a を選びます。

関数が a で有限の値を持たない場合（0 での ln(x) や 1/x など）か、値はあっても有限の傾きがない場合（0 でグラフが折れ曲がる abs(x) や、0 で接線が垂直になる sqrt(x) など）です。まれに、0 での x*abs(x) のように、微分係数は存在するのに公式に代入すると 0/0 になることがあります。その場合も計算ツールは値を推測せず、傾きを求められないと表示します。いずれも、近くの別の点を選べば解決します。

値は倍精度（有効数字およそ15桁）で計算し、7桁で表示します。等号（=）はその数値が丸めずに表示されていること、近似の記号（≈）は丸めてあることを表します。x が a に非常に近く、近似値と実際の値が15桁のほとんどで一致するときは、誤差は意味のある桁だけを表示します。

いいえ。入力した関数と数値は、結果を計算するために当サイトのサーバーへ送信されます。また、ステップを移動するときにページのリンクに追加されるので、計算をブックマークしたり共有したりできます。アカウントやプロフィールに保存されることはありません。

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