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積分計算機

ステップ 1 / 4 積分の見積もり
関数 f(x)
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内蔵関数を選び、下限と上限を設定すると、定積分の数値近似が得られます。この計算機は複合シンプソン法を使うため、関数が区間全体で定義されている有限区間の滑らかな関数に向いています。

定積分を近似する方法

  1. 1

    関数を選ぶ

    関数ボタンから `e^x`、`sin(x)`、`cos(x)`、`x²`、`x³`、`√x`、`1/x`、`ln(x)` のいずれかを選びます。

  2. 2

    区間を設定する

    下限 `a` と上限 `b` を入力します。`√x` と `ln(x)` は正の範囲にし、`1/x` は 0 をまたがないようにします。

  3. 3

    精度を選ぶ

    分割数は偶数で指定します。シンプソン法は2区間ずつ扱うため、奇数を入力すると自動的に次の偶数へ丸められます。

  4. 4

    近似値を読む

    結果は `a` から `b` までの符号付き面積です。宿題、確認、簡単な分析に使えるコピー用の要約も表示されます。

この計算機でできること

これは定積分用の数値計算機です。選択した関数について、有限区間で

∫_a^b f(x) dx

を近似します。不定積分を解いたり、記号的な原始関数を出したり、広義積分の収束を証明したりするものではありません。

対応している関数

関数 使用できる定義域 試しやすい区間
e^x 任意の実数 x [0, 1]
sin(x) 任意の実数 x [0, π]
cos(x) 任意の実数 x [0, π/2]
x² 任意の実数 x [0, 3]
x³ 任意の実数 x [-1, 1]
√x x >= 0 [0, 4]
1/x 区間に 0 を含めない [1, 2]
ln(x) x > 0 [1, e]

このツールのシンプソン法

複合シンプソン法では、[a, b] を等しい幅の偶数個 n の小区間に分けます。h = (b-a)/n、x_i = a + i h とすると、近似式は次のとおりです。

∫_a^b f(x) dx ≈ h/3 [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]

この計算機では、2 から 100000 までの分割数を選べます。奇数を入力した場合は、シンプソン法の重みが正しく並ぶように次の偶数を使います。

結果の読み方

  • 符号付き面積として読みます。 x軸より下の面積は、x軸より上の面積から差し引かれます。
  • 上下限を入れ替えると符号が変わります。 a と b を入れ替えると、近似値は -1 倍になります。
  • 滑らかな曲線では分割数を増やすと精度が上がりやすくなります。 ただし、不連続点、垂直漸近線、定義域の誤りは解決できません。
  • 定義域の制約はそのまま適用されます。 √x は非負、ln(x) は正、1/x は 0 以外でなければ評価できません。

この方法だけでは足りない場合

厳密な原始関数、不定積分、広義積分の証明、厳密な誤差評価が必要な場合は、数式処理システムや通常の解析手順を使ってください。この計算機は、対応関数の数値近似をすばやく得たいときに使うものです。

よくある質問

いいえ。複合シンプソン法による数値近似です。滑らかな関数では、分割数を増やすと近似が改善しやすくなります。

このバージョンでは、ツール内に表示される関数ボタンを使います: e^x、sin(x)、cos(x)、x²、x³、√x、1/x、ln(x)。

シンプソン法は2つの小区間ごとに放物線弧を当てはめます。奇数を入力すると、計算機は次の偶数に丸めます。

区間が関数の定義域を外れている可能性があります。例として、√x が 0 未満、ln(x) が 0 以下、または 1/x が 0 をまたぐ場合です。境界を調整して再試行してください。

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