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特性多項式計算機

ステップ 1 / 3 特性多項式計算機
行列のサイズ
行列の成分

整数、0.25 のような小数、-3/4 のような分数を入力できます。すべてのマスを埋めてください。

次へ：多項式の形

正方行列 A の特性多項式は det(A - λI) で、λ についての多項式です。その根が A の固有値になります。2 × 2、3 × 3、4 × 4 のいずれかの行列を入力すると、正確な係数の多項式、トレース、行列式を返します。2 × 2 と 3 × 3 の行列では、実固有値も表示します。

特性多項式の求め方

  1. 1

    サイズを選んで表に入力します

    2 × 2、3 × 3、4 × 4 から選び、各成分を整数、0.25 のような小数、-3/4 のような分数で入力してください。

  2. 2

    形式を選びます

    教科書で一般的な det(A - λI) か、最高次の係数が常に 1 になるモニック形式 det(λI - A) を選びます。2 × 2 や 4 × 4 のような偶数サイズでは、どちらも同じ多項式になります。

  3. 3

    多項式を読み取ります

    結果には、多項式、その係数の表、入力した行列のトレースと行列式が表示されます。

  4. 4

    固有値を確認します

    2 × 2 と 3 × 3 の行列では、実数の根が重複度つきで一覧表示されます。4 × 4 の行列では、正確な多項式のみが得られます。

特性多項式からわかること

n × n 行列 A に対して、多項式 det(λI - A) は次の形になります。

λⁿ - (trace A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

このため、係数のうち 2 つはすぐに読み取れます。2 番目の係数はトレース（対角成分の和）の符号を変えたもので、定数項は符号 (-1)ⁿ を除いて行列式に等しくなります。根は A の固有値で、その和がトレース、積が行列式です。ケーリー・ハミルトンの定理により、A 自身もこの多項式を満たします。λ に行列 A を代入すると、零行列が得られます。

係数の計算方法

本ツールは、ファデーエフ・ルヴェリエの漸化式を使います。単位行列から始めて、Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I により行列の列 M₁, M₂, ... を作り、各係数を cₙ₋ₖ = -trace(A·Mₖ) / k として求めます。成分はあらかじめすべて正確な分数に変換されるため、係数は丸めた小数ではなく、正確な整数または分数で得られます。

計算例（3 × 3）

A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] の場合、トレースは 2 + 3 + 9 = 14、行列式は 2·(3·9 - 4·4) = 22 です。多項式は次のとおりです。

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

これは (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11) と因数分解できるので、固有値は 1、2、11 です。det(A - λI) の形式では、奇数サイズのため全項の符号が反転し、-λ³ + 14λ² - 35λ + 22 になります。

例（2 × 2）

行列 A 特性多項式 実固有値
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 と 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5.372281 と -0.372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2（重複度 2）
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 なし（複素共役の組）

このツールにできないこと

  • 対応サイズは 2 × 2、3 × 3、4 × 4 のみです。
  • 成分は最大 9 桁、小数は小数点以下 6 桁までです。指数表記は使えません。
  • 固有値は小数点以下 6 桁に丸めた小数で表示され、対象は 2 × 2 と 3 × 3 の行列の実固有値のみです。複素固有値と固有ベクトルは表示されません。

よくある質問

n × n 行列では、両者は係数 (-1)ⁿ だけ異なります。2 × 2 と 4 × 4 の行列では同一で、3 × 3 の行列では符号が逆になりますが、根、つまり固有値は変わりません。多くの教科書は det(A - λI) を使い、ソフトウェアや一部の講義ではモニック形式の det(λI - A) を使います。

計算が正確だからです。行列に分数や小数が含まれていれば、係数も一般に分数になり、0.8333 よりも 5/6 と表示するほうが正確です。整数だけの行列なら、係数は必ず整数になります。

このページでは 4 × 4 行列の正確な特性多項式が得られますが、4 次方程式は解きません。固有値を求めるには、多項式を手計算または求根ツールで因数分解してください。2 × 2 と 3 × 3 の行列では、実固有値があらかじめ一覧表示されます。

重複度つきで 1 回だけ表示されます。たとえば行列 [[2, 1], [0, 2]] の多項式は (λ - 2)² で、λ = 2（重複度 2）と表示されます。

変わりません。A と P⁻¹AP のような相似な行列は同じ特性多項式を持つため、線形写像を見分ける指標として便利です。ただし、特性多項式が同じでも相似とは限りません。

保存されません。入力した成分は結果の計算のためにサーバーへ送られ、ステップを移動するときにページのリンクへ追加されます。これは、計算結果をブックマークや共有できるようにするためです。アカウントやプロフィールには保存されません。

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