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行列計算機

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任意の次元の行列を1つまたは2つ入力すると、計算機は選択した演算（加算、減算、スカラーまたは行列乗法、転置、逆行列、行列式、ランク、トレース）を実行し、重要な過程を自動的に表示します。線形代数の課題や工学上の計算検証、コンピュータグラフィックスにおける変換処理に非常に便利であり、ボタンが小さな計算機で手作業による行削減を行う必要がない場合にも最適です。

行列の計算方法

  1. 1

    サイズを設定します

    行列Aの行と列（操作に2つ目の演算数が必要な場合は行列Bも含む）。

  2. 2

    値を入力してください

    各セルをクリックしてください。小数、負数および分数（`1/3`）は受け付けています。

  3. 3

    操作を選択してください

    A+B、A−B、AB、kA、A^T、A^−1、det(A)、rank、trace。

  4. 4

    結果と手順を読み込みます

    出力行列に使用した数式およびすべての中間行演算を加えます。

演算とその次元の規則

演算 規則 結果の次元
A + B 同じ次元 m×n
A − B 同じ次元 m×n
k · A 任意の A A と同じ
A · B 列(A) = 行(B) 行(A)×列(B)
A^T（転置） 任意の A n×m
A⁻¹（逆行列） A が正方行列で det(A) ≠ 0 n×n
det(A) A が正方行列 スカラー
rank(A) 任意の A スカラー
trace(A) A が正方行列 スカラー

行列の乗算が交換法則を満たさない理由

一般の行列 A と B では、両方の積が定義されている場合でも AB ≠ BA となる。AB の各要素は A の行と B の列の内積であり、順序を入れ替えると別の行と列の内積になる。交換可能な行列は例外である（単位行列の定数倍、要素が互いに異なる対角行列、共通の軸をもつ一部の回転行列など）。

逆行列の存在を素早く判定する

  • 正方行列が正則である必要十分条件は det(A) ≠ 0 である。
  • 正則 ⇔ フルランク ⇔ 列が線形独立 ⇔ 零空間が自明。
  • 2×2 の場合：A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]]。
  • より大きな行列では、本計算機はガウス・ジョルダン消去法（I で拡大し、[I | A⁻¹] へ行簡約する）を用いる。

よくある落とし穴

  • 次元の不一致。 最も多いエラーです。計算機はこれを早い段階で検出し、どの次元が一致しないかを正確に知らせます。
  • 逆行列における丸め誤差。 倍精度演算では小さな誤差が蓄積します。ほぼ特異な行列（行列式がゼロに近い）は、精度の著しく低い逆行列を生みます。精度が重要な場合は条件数を確認してください。
  • 整数でない分数。 1/3 と入力すると、計算機は可能な限り正確な値を保ちます。演算で無理数が現れると浮動小数点数に切り替わります。

宿題以外の用途

  • コンピュータグラフィックス： 3D での平行移動・回転・拡大縮小のための 4×4 変換行列。
  • 物理学： 応力テンソルおよび慣性テンソル。
  • 機械学習： 全結合層の重み行列、共分散行列、主成分分析（PCA）。
  • ネットワークとマルコフモデル： 遷移行列とそのべき乗。
  • 経済学： 投入産出モデル（レオンチェフ）。

よくある質問

数百行・数百列でも動作しますが、計算量が O(n³) の演算（乗算、逆行列、行列式）では処理が遅くなります。約 500×500 を超える場合は、BLAS ベースのルーチンを備えた数値ライブラリ（NumPy、Octave）を使用してください。

単純な演算（加算、減算、スカラー倍、転置）では保たれます。逆行列や行列式では、計算機は有理数のまま処理する（大きな行列では遅い）か、倍精度の浮動小数点数を使う（高速だが丸め誤差あり）かを選べます。モードは切り替え可能です。

ガウス・ジョルダン消去法：行列 A を単位行列で拡大し、既約行階段形へ行簡約します。左半分が I になれば右半分が A⁻¹ です。そうならない場合、A は特異であり逆行列を持ちません。

いいえ、この計算機は実数のみ対応しています。複雑な行列の場合は、専用の複素行列ツールをご利用ください。

いいえ。すべての計算はブラウザ内で実行されます。

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