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極限計算機

ステップ 1 / 3 極限値
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xがある点aに近づくときの関数f(x)の極限とは、f(a)そのものが存在するかどうかにかかわらず、f(x)が落ち着いていく値を表します。この計算機は、多項式、有理関数、三角関数、指数関数、対数について、±∞の点を含めて極限を数値的かつ記号的に評価し、左側と右側の値が一致しないために両側極限が存在しない場合にもそれを知らせます。

極限を計算する方法

  1. 1

    関数の種類を選ぶ

    多項式、有理式、三角関数（sin/cos/tan）、指数関数、対数、またはそれらの組み合わせ。

  2. 2

    極限点aを入力

    実数を入力するか、極端な点での極限には∞／-∞を使います。

  3. 3

    方向を選ぶ

    両側（両方向）、左側（a⁻）、右側（a⁺）。

  4. 4

    数値結果を読む

    左側と右側が一致しない場合、両側極限は存在しません。

極限がうまく振る舞うときとそうでないとき

ほとんどの大学1年次の微積分の問題は、3つの手法に頼っています。直接代入、代数的な簡略化、そしてロピタルの定理です。計算機はこの順番でそれらを適用し、記号的な操作が失敗すると数値的な推定にフォールバックします。

覚えておく価値のある古典的な結果

極限 値
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (多項式)/eˣ 0

両側極限が成立しないとき

「存在しない」を引き起こすパターンは3つあります。

  • 跳び不連続。 x = 0でのf(x) = sign(x): 左側 → -1、右側 → +1。
  • 符号が逆の垂直漸近線。 x = 0でのf(x) = 1/x: 左側 → -∞、右側 → +∞。
  • 振動。 x = 0でのf(x) = sin(1/x): 点に限りなく近づくにつれ値が-1と1の間を振動します。

両側極限が存在しない場所でも片側極限は存在することがあります。計算機は各側を別々に報告するので、発散の様子を確認できます。

ロピタルの定理：慎重に使う

代入で0/0または∞/∞になるとき、分子と分母を別々に微分すると解決できることがよくあります。ただしこの定理には次の条件が必要です。

  • （分子と分母の）両方の極限が、本当に0であるか、両方とも∞であること。
  • 導関数の比それ自体が極限を持つこと。
  • 関数がその点の近くで微分可能であること。

不定形でない形にロピタルを誤用すると、誤った答えになります。常に最初に形を確認してください。

数値的対記号的

計算機は、単純な代数的形式（多項式、有理式）には厳密な算術を使います。超越的な式については、aに近づく点の列で関数を評価し、収束した値を小数第8位まで報告します。列が収束しない場合、結果は不定形として示されます。

よくある質問

xがaの片側からのみ近づくときにf(x)が近づく値です。左側（x → a⁻）はaより小さい値を使い、右側（x → a⁺）はaより大きい値を使います。両側極限は両者が一致する場合にのみ存在します。

はい。極限点として∞または-∞を入力してください。有理関数では次数を比較し、指数関数や対数では標準的な漸近的順位を使います。

xがその点に近づくとき、関数が単一の有限値に落ち着かないということです。値が無限大に向かう、左側と右側が一致しない、または値が収束せずに振動する、といった理由で起こり得ます。

いいえ。入力した式はブラウザ内で解析・評価され、どこにも送信されません。

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