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フィボナッチ計算ツール

ステップ 1 / 3 第nフィボナッチ数
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欲しい項数（1～200）を選ぶと、このフィボナッチ計算ツールが F(1)、F(2)、F(3)… という、各数が直前の2つの和になる数列を作成します。第nフィボナッチ数、数列全体の累計和、そして黄金比に収束する末尾2項の比を表示します。すべての値は正確な多倍長整数演算で計算されるため、42桁の第200項でも丸め誤差なく返されます。

計算ツールの使い方

  1. 1

    項数を入力する

    必要なフィボナッチ数の個数を1から200まで入力します。

  2. 2

    モードを選ぶ

    数列全体（最初の100項まで）を表示するか、最終的な値だけが必要なら第n項だけを表示します。

  3. 3

    結果を読む

    第nフィボナッチ数、全項の総和、黄金比の近似値を確認できます。いずれも正確な値です。

フィボナッチの公式

フィボナッチ数列は単純な漸化式で定義されます。

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   （n > 2 のとき）

各項は直前の2つの項の和です。この計算ツールは F(1) = 1、F(2) = 1 という慣例を用いるため、数列は 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… と始まります。

計算例

F(10) を求めるには、1項ずつ足し上げていきます。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

したがって F(10) = 55 です。この10項の総和は 143 で、末尾2項の比 55 / 34 ≈ 1.6176 は、すでに黄金比 φ ≈ 1.6180339887 に近い値です。

数列・総和・黄金比

n F(n) F(1)..F(n) の総和 F(n) / F(n-1)
5 5 12 1.6667
10 55 143 1.6176
15 610 1596 1.6181
20 6765 17710 1.6180

美しい恒等式があります。最初のn個のフィボナッチ数の和は F(n+2) − 1 に等しくなります。n = 10 の場合は F(12) − 1 = 144 − 1 = 143 となり、表と一致します。

よくある落とし穴

  • 添字の付け方が異なる。 一部の教科書は F(0) = 0 から始めます。このツールは F(1) = 1、F(2) = 1 を用いるため、F(0) を基準とする表と比較する場合は添字を1つずらしてください。
  • 浮動小数点のオーバーフロー。 大きなフィボナッチ数を通常の浮動小数点数で計算すると、およそ F(78) を超えたあたりから精度が失われます。この計算ツールは正確な多倍長整数演算を用いるため、F(200)（42桁の数）が完全な形で返されます。
  • 黄金比は極限であって等式ではない。 F(n) / F(n-1) は φ に近づくだけで、有限の n では決して厳密に等しくはなりません。n が小さいうちはずれが顕著です。

よくある質問

各項が直前の2つの項の和になる数の列で、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… と始まります。葉の並び方から巻き貝の螺旋まで、数学や自然のいたるところに現れます。

漸化式 F(n) = F(n-1) + F(n-2) によって求めます。このツールは正確な多倍長整数演算で項を繰り返し足し上げるため、F(200) でも丸めなしで計算されます。

n が大きくなるにつれて F(n) / F(n-1) は黄金比 φ ≈ 1.6180339887 に収束します。これは数列の閉形式（ビネの公式）から証明される基本的な性質です。

入力した数値が保存されたり共有されたりすることはありません。数値は結果の計算のためだけにサーバーへ送信され、ステップ形式ではステップ間のページリンクにも含まれます。それ以外の目的には一切使われません。

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