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判別式計算機

ステップ 1 / 4 ax² + bx + c の判別式 = b² − 4ac
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二次方程式の解の公式を最後まで計算する前に、たった一つの式で得られる根についてのすべてがわかります。判別式 b² - 4ac は、実数の根が2つあるとき正、ちょうど1つ（重根）のとき0、根が共役複素数の組であるとき負になります。このツールは係数 a、b、c から判別式を計算し、その値が何を意味するかを説明します。

判別式の計算方法

  1. 1

    係数を入力する

    標準形 ax² + bx + c = 0 から a、b、c を入力します。小数と負の数に対応しています。

  2. 2

    判別式を読み取る

    ツールは D = b² - 4ac と数値結果を表示します。

  3. 3

    値を解釈する

    この方程式が2つの異なる実根、1つの重根、または2つの複素根を持つかを確認します。

符号が意味すること

判別式 根の種類 グラフの挙動
D > 0 相異なる2つの実根 放物線が x 軸を2回横切る
D = 0 1つの実根（重根／二重根） 放物線が x 軸に1点で接する
D < 0 共役な2つの複素根 放物線が x 軸を横切らない

計算例

x² - 5x + 6 = 0： D = 25 - 24 = 1。正なので実根が2つ。公式を用いると x = (5 ± 1) / 2 となり、x = 3 と x = 2 が得られます。

x² - 4x + 4 = 0： D = 16 - 16 = 0。0なので重根が1つ。x = 4/2 = 2。

x² + 2x + 5 = 0： D = 4 - 20 = -16。負なので複素根になります。x = (-2 ± √(-16)) / 2 = -1 ± 2i。

符号の先にある正確な値

判別式は、根が有理数かどうかも教えてくれます。整数 a、b、c の場合：

  • D が完全平方数のとき（0、1、4、9、16、25……）：根は有理数です。
  • D が正だが完全平方数でないとき：根は無理数で、平方根を含みます。
  • D が負のとき：根は実数でない複素数です。

これを事前に知っておくと、その方程式が整数の範囲できれいに因数分解できるかどうかがわかります。

関連する判別式

この考え方は、より高次の多項式にも一般化されます。三次方程式は b、c、d と定数項を含む判別式を持ち、3つの根を「すべて実数で相異なる」「実数だが重複あり」「実数1つと複素数2つ」に分類します。ここでの計算機は二次の場合のみを扱います。三次・四次には一般的な代数ソルバーを使ってください。

ヒント

  • 符号は必ず確認しましょう。 c の符号のマイナスが1つ抜けるだけで、判別式は大きく変わります。
  • まず分数を簡単にしましょう。 係数が有理数の場合は、D を計算する前に分母を払っておくと計算が楽になります。
  • 現実の問題では再確認を。 放物運動では、判別式が負であることは発射体が目標に決して届かないことを意味し、計算間違いを意味するわけではありません。

よくある質問

直接には使えません。b² - 4ac の公式は2次の多項式に特有のものです。高次の判別式も存在しますが、異なる公式を用います。方程式が二次でない場合は、まず（代入や因数分解で）二次の部分になるまで簡約してください。

放物運動の問題では、判別式が0のときは、発射体がただ1本の接線的な軌道でぎりぎり目標に届く境界の場合です。回路の問題では臨界減衰の場合にあたります。物理的には、2つの異なる挙動の境目を表します。

計算はサーバー側で倍精度浮動小数点演算により行われ、結果は小数第4位に丸めて表示されます。有効数字15桁を超える入力値は近似される場合があります。

いいえ。係数は入力に応じて結果を更新するためにサーバーへ送信され、ステップ形式ではページリンクにも含まれます。保存や記録は一切行われません。

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