外積計算ツール

公式

ベクトル A = (ax, ay, az) と B = (bx, by, bz) に対して、外積は次のようになります。

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

各成分は他の2軸の2×2行列式であり、中央の項の符号は反転します。便利な覚え方は、単位ベクトル i、j、k に沿った行列式の展開です。

計算例

A = (1, 2, 3)、B = (4, 5, 6) とします。

• x：ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
• y：az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
• z：ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

よって A × B = (−3, 6, −3) です。その大きさは √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7.348 です。結果が垂直であることを確かめられます。A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0。✓

主な性質

よくある落とし穴

• 順序が重要です。 ベクトルを入れ替えると各成分の符号が反転します。外積は反交換的だからです。
• 外積は3次元でのみ定義されます。 内積とは異なり、A × B は3次元ベクトルに対して定義されます（7次元に類似のものがありますが、ほとんど使われません）。2次元ベクトルの場合は、欠けている z 成分を 0 で補います。
• 中央の項の符号。 y 成分は az·bx − ax·bz であり、ax·bz − az·bx ではありません。行列式の展開では j の項が引かれるためで、手計算の誤りの多くはここで起こります。
• 平行なベクトルはゼロになります。 A と B が同じ向きを指す場合（θ = 0）、sin(0) = 0 なので結果はゼロベクトルになります。