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共分散計算ツール

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共分散は、2つの変数がどのように一緒に変化するかを示す指標です。正の共分散は両者が同じ方向に動く傾向があることを、負の共分散は逆方向に動くことを、ゼロは線形関係がないことを意味します。相関とは異なり、共分散は元の単位を2乗した単位になるため、文脈なしでは大きさを解釈するのが困難です。この計算ツールは、標本共分散（n−1で割る）と母集団共分散（nで割る）の両方を算出します。

共分散の計算方法

  1. 1

    ペアになったX/Yデータを貼り付ける

    各行に1つのXと1つのYを入力します。カンマ、タブ、またはスペースで区切ります。各列の個数は同じにします。

  2. 2

    両方のバージョンが表示されます

    この計算ツールは常に両方を表示します。標本共分散（n−1で割る）と母集団共分散（nで割る）です。

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    計算を実行する

    この計算ツールは平均と偏差の積を求め、nまたはn−1で割ります。

  4. 4

    結果を読み取る

    2つの共分散の値を読み取ります。正の値は変数が一緒に動く傾向、負の値は逆方向に動く傾向を意味します。

数式

標本共分散: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)

母集団共分散: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n

n - 1で割る理由（ベッセル補正）により、標本共分散は母集団共分散の不偏推定量になります。統計ソフトウェアは標準で標本版を使用します。

重要なのは符号

符号 意味
正 XとYがそろって平均より上、または平均より下になる傾向がある
負 Xが平均より上のとき、Yは平均より下になる傾向がある
ゼロ 線形パターンなし（非線形の関係はありうる）

大きさは単位によって変わります。成人のcov(身長_cm, 体重_kg)は約+70ですが、身長をメートルに変えると+0.7まで下がります。関係は同じでも数値が異なるのです。そのため、より一般的に報告されるのは相関です。

共分散と相関

相関 = 共分散 / (σ_X × σ_Y)

相関は単位を持たない指標で、常に[-1, +1]の範囲にあり、異なるデータセット間でも比較できます。共分散は要約統計量としてよりも、数式の中（ポートフォリオ分散、回帰、PCA）で主に役立ちます。

共分散が直接使われる場面

  • ポートフォリオ理論：ポートフォリオ分散 = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ)。重みと分散が効くため、相関ではなく共分散が必要です。
  • 線形回帰：傾きの推定値 β = cov(X, Y) / var(X)。
  • 主成分分析（PCA）：対角化されるのは共分散行列です。
  • 信号処理：相互共分散は、異なる遅延における信号間の類似性を測定します。

よくある間違い

  • nとn−1の取り違え：小さなデータセットでは標本共分散と母集団共分散が数パーセント異なることがあり、再現性の問題を引き起こします。どちらが必要かを決め、それを明記してください。
  • 大きさの解釈：共分散が50でも、それ自体は「大きい」とは言えません。XとYの単位と分散に完全に依存します。
  • 共分散ゼロを独立と見なす：共分散ゼロは線形関係がないことを意味するだけです。2つの変数は共分散が0でも、非線形に完全に予測可能なことがあります（例：対称なXに対するY = X²）。

よくある質問

データがより大きな母集団からの標本である場合は標本（n−1で割る）を使います。研究では通常こちらです。データセットが文字どおりすべての観測値を含む場合にのみ母集団（nで割る）を使います。確信がなければ標本を既定にしてください。

共分散は2つの単位の積で表されるためです。Xが円、Yが個数であれば、共分散は「円・個」という単位になります。単位を持たない数値が欲しい場合は、相関に変換してください（σ_X × σ_Yで割る）。

いいえ。|cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y（コーシー・シュワルツの不等式）。等号が成り立つのは、YがXの完全な線形関数であるときだけです。計算ツールがこれより大きな共分散を示す場合は、不具合があります。

必ずしもそうではありません。共分散ゼロは線形関係がないことを意味するだけです。[0, 2π]上のY = sin(X)はXとの共分散が0ですが、完全に決まっています。共分散ゼロが独立を意味するのは、変数が同時正規分布に従う場合だけです。

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