平方完成計算機

計算例: 2x² + 8x + 5

ステップ 1、x の項から a = 2 をくくり出す: 2(x² + 4x) + 5

ステップ 2、4 の半分は 2、その 2 乗は 4。括弧の中で 4 を足して引く: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

ステップ 3、完全平方と残りの項に分ける: 2((x + 2)² − 4) + 5

ステップ 4、2 を分配する: 2(x + 2)² − 8 + 5

ステップ 5、定数項を整理する: 2(x + 2)² − 3

標準形: a = 2、h = −2、k = −3 → 頂点は (−2, −3)。

一般公式

ax² + bx + c の場合:

• h = −b / (2a)
• k = c − b² / (4a)
• 標準形: a(x − h)² + k

なぜ平方完成をするのか

• 放物線を描くときに頂点を一瞬で求められる。
• 解の公式を使わずに二次方程式を解ける、特に無理数の解で便利です。
• 解の公式そのものを導ける: ax² + bx + c = 0 を平方完成すると x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) が得られます。
• 微分積分: 微分せずに二次関数の極値を求められる。
• 放物運動: 上向きに投げたボールの最高到達点は、高さの式を標準形にしたときの k にあたります。
• 円と円錐曲線: x と y の両方の項で平方完成すると、x² + y² + Dx + Ey + F = 0 を (x−h)² + (y−k)² = r² に変換でき、中心と半径が一目でわかります。

標準形からわかる放物線の性質

• 頂点: (h, k)。
• 対称軸: x = h。
• a > 0 なら上に開き、a < 0 なら下に開く。
• 関数の最大値または最小値: k。
• 開き方: |a| > 1 なら狭く、|a| < 1 なら広い。
• 解（実数の場合）: x = h ± √(−k/a)。k/a ≤ 0 のときだけ実数になります。

よくある間違い

• 括弧の中で平方完成したあと、a を分配し忘れること。補正の項が変わってしまいます。
• b/(2a) の符号ミス: h は −b/(2a) であって +b/(2a) ではありません。
• 2 乗する前に真ん中の係数を半分にしないこと。「b/a の半分を取って 2 乗する」が定番の手順です。
• a ≠ 1 を放置すること: まず必ずくくり出して計算を簡単にしましょう。

特別な場合: a = 1

a = 1 のとき、手順は次のように簡単になります:

• x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
• h = −b/2、k = c − b²/4

k が負なら実数解をもつ

k が a と反対の符号をもつとき、放物線は x 軸と交わります。a(x − h)² = −k を解くと、その交点が求められます。