等差数列計算ツール

等差数列の公式

等差数列は、隣り合う項の間に一定の間隔、すなわち公差 d を持ちます。2つの公式ですべてが片づきます。

第n項：a_n = a₁ + (n − 1) · d
和：   S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

ここで a₁ は初項、d は各ステップで加える値（減少する数列では負になることもあります）、n は数えている項数です。和の公式は、初項と末項の平均に項数を掛けたものにほかなりません。

計算例

a₁ = 2、d = 3 とします。数列は 2、5、8、11、14、17、20、23、26、29 …

第10項を求めるには：

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

最初の10項を足し合わせるには：

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

したがって第10項は29、累計の和は155です。

項・公差・部分和

各項がちょうど d = 3 ずつ上昇している点に注目してください。これは等差（等比ではない）数列の特徴です。部分和 Sₙ は項そのものより速く増えます。各ステップで最新の値だけでなく、累計された線全体が加わるからです。

簡単な確認として、和は項数に初項と末項の平均を掛けたものに等しくなります。n = 10 の場合は 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15.5 = 155 となり、表と正確に一致します。

よくある落とし穴

• n の数え間違い（1つのずれ）。 公式は n·d ではなく (n − 1)·d を使います。初項には公差が一度も加わらないので、a₁ は5ではなく2です。
• 等差と等比の混同。 等差数列は一定の公差 d を加え、等比数列は一定の公比を掛けます。間隔が次々に倍になっていく場合は、代わりに等比数列ツールが必要です。
• 負の公差でも問題ありません。 公差 d = −4 は減少する数列を生みますが、同じ公式がそのまま当てはまります。