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最大公約数計算ツール

ステップ 1 / 2 最大公約数（GCF/GCD）
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最大公約数（GCDまたはHCFとも呼ばれます）とは、与えられた整数の集合に含まれるすべての数を余りなく割り切る最大の整数です。2つ以上の正の整数を入力すると、この計算ツールはユークリッドの互除法でその最大公約数をすぐに算出します。その結果を使って宿題の確認をしたり、84/144を7/12に約分するといった分数の計算にも役立ちます。

最大公約数の求め方

  1. 1

    整数を入力する

    2つ以上の正の整数を、カンマ・スペース・改行のいずれかで区切って入力します。

  2. 2

    ツールがユークリッドの互除法を適用する

    余りが0になるまで、(a, b) を (b, a mod b) に繰り返し置き換えます。

  3. 3

    最大公約数を読み取る

    表示される結果が、ユークリッドの互除法で求めた、入力した数の最大公約数です。

ユークリッドの互除法

a ≥ b > 0 のときに gcd(a, b) を求めるには、次のようにします。

while b ≠ 0:
    (a, b) ← (b, a mod b)
return a

3つ以上の数の場合は、恒等式 gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c) を適用します。

計算例：最大公約数（84, 144）

手順 割り算 余り
1 144 ÷ 84 = 1 r 60 60
2 84 ÷ 60 = 1 r 24 24
3 60 ÷ 24 = 2 r 12 12
4 24 ÷ 12 = 2 r 0 0

最後に現れた0でない余りは 12 なので、gcd(84, 144) = 12 となり、84/144 は 7/12 に約分できます。

最大公約数が1の場合

gcd(a, b) = 1 のとき、これらの数は互いに素です。15と28はどちらも素数ではありませんが互いに素であり、この性質のために 15/28 はそれ以上約分できません。

最小公倍数との関係

gcd(a, b) × lcm(a, b) = |a × b| が成り立ちます。したがって一方が分かれば、もう一方もそこから求められます。

よくある活用例

  • 分数を既約分数まで約分する。
  • 長方形をすき間なく敷き詰められる、最も大きい正方形タイルの寸法を求める。
  • 歯車比やプーリー径を簡単な比に約す。
  • 合同算術：互いに素な数の組は、互いを法として逆元をもつ。

よくある質問

いずれも同じ値を指す3つの呼び名です。GCF（greatest common factor）はアメリカの学校で、GCD（greatest common divisor）は数学や情報科学の分野で、HCF（highest common factor）はイギリスの教育課程で使われます。日本語ではいずれも「最大公約数」にあたります。

負の数は計算に含めず、正の整数だけを使います。負の数を含めたい場合は、絶対値を入力してください（例：-84ではなく84）。

n になります（nが正の場合）。0はすべての整数で割り切れるため、n との最大公約数は n 自身です。なお gcd(0, 0) は通常0と定義されます。

保存されません。入力した数値は結果を計算するためだけにサーバーへ送信され、手順を進める際にはページのリンクにも含まれることがあります。

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